Space Complexity
Space complexity refers to the amount of memory used by an algorithm to complete its execution, as a function of the size of the input. The space complexity of an algorithm can be affected by various factors such as the size of the input data, the data structures used in the algorithm, the number and size of temporary variables, and the recursion depth. Space complexity is often expressed in terms of the amount of memory required by an algorithm in the worst-case scenario, or in terms of the growth rate of the memory usage as the size of the input data increases. For example, an algorithm that uses an array of size n to solve a problem has a space complexity of O(n), while an algorithm that uses a two-dimensional array of size n x n has a space complexity of O(n^2). An algorithm that uses a recursive function to solve a problem may have a space complexity of O(n) if the recursion depth is proportional to the size of the input data.
numbers = list(range(1000))
print(numbers[263])
263
Linear Time O(n)
An example of a linear time algorithm is traversing a list or an array. When the size of the list or array increases, the time taken to traverse it also increases linearly with the size. Hence, the time complexity of this operation is O(n), where n is the size of the list or array being traversed.
for i in numbers:
print(i)
Quadratic Time O(n^2)
An example of a quadratic time algorithm is nested loops. When there are two nested loops that both iterate over the same collection, the time taken to complete the algorithm grows quadratically with the size of the collection. Hence, the time complexity of this operation is O(n^2), where n is the size of the collection being iterated over.
for i in numbers:
for j in numbers:
print(i,j)
0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0 16 0 17 0 18 0 19 0 20 0 21 0 22 0 23 0 24 0 25 0 26 0 27 0 28 0 29 0 30 0 31 0 32 0 33 0 34 0 35 0 36 0 37 0 38 0 39 0 40 0 41 0 42 0 43 0 44 0 45 0 46 0 47 0 48 0 49 0 50 0 51 0 52 0 53 0 54 0 55 0 56 0 57 0 58 0 59 0 60 0 61 0 62 0 63 0 64 0 65 0 66 0 67 0 68 0 69 0 70 0 71 0 72 0 73 0 74 0 75 0 76 0 77 0 78 0 79 0 80 0 81 0 82 0 83 0 84 0 85 0 86 0 87 0 88 0 89 0 90 0 91 0 92 0 93 0 94 0 95 0 96 0 97 0 98 0 99 0 100 0 101 0 102 0 103 0 104 0 105 0 106 0 107 0 108 0 109 0 110 0 111 0 112 0 113 0 114 0 115 0 116 0 117 0 118 0 119 0 120 0 121 0 122 0 123 0 124 0 125 0 126 0 127 0 128 0 129 0 130 0 131 0 132 0 133 0 134 0 135 0 136 0 137 0 138 0 139 0 140 0 141 0 142 0 143 0 144 0 145 0 146 0 147 0 148 0 149 0 150 0 151 0 152 0 153 0 154 0 155 0 156 0 157 0 158 0 159 0 160 0 161 0 162 0 163 0 164 0 165 0 166 0 167 0 168 0 169 0 170 0 171 0 172 0 173 0 174 0 175 0 176 0 177 0 178 0 179 0 180 0 181 0 182 0 183 0 184 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351 0 352 0 353 0 354 0 355 0 356 0 357 0 358 0 359 0 360 0 361 0 362 0 363 0 364 0 365 0 366 0 367 0 368 0 369 0 370 0 371 0 372 0 373 0 374 0 375 0 376 0 377 0 378 0 379 0 380 0 381 0 382 0 383 0 384 0 385 0 386 0 387 0 388 0 389 0 390 0 391 0 392 0 393 0 394 0 395 0 396 0 397 0 398 0 399 0 400 0 401 0 402 0 403 0 404 0 405 0 406 0 407 0 408 0 409 0 410 0 411 0 412 0 413 0 414 0 415 0 416 0 417 0 418 0 419 0 420 0 421 0 422 0 423 0 424 0 425 0 426 0 427 0 428 0 429 0 430 0 431 0 432 0 433 0 434 0 435 0 436 0 437 0 438 0 439 0 440 0 441 0 442 0 443 0 444 0 445 0 446 0 447 0 448 0 449 0 450 0 451 0 452 0 453 0 454 0 455 0 456 0 457 0 458 0 459 0 460 0 461 0 462 0 463 0 464 0 465 0 466 0 467 0 468 0 469 0 470 0 471 0 472 0 473 0 474 0 475 0 476 0 477 0 478 0 479 0 480 0 481 0 482 0 483 0 484 0 485 0 486 0 487 0 488 0 489 0 490 0 491 0 492 0 493 0 494 0 495 0 496 0 497 0 498 0 499 0 500 0 501 0 502 0 503 0 504 0 505 0 506 0 507 0 508 0 509 0 510 0 511 0 512 0 513 0 514 0 515 0 516 0 517 0 518 0 519 0 520 0 521 0 522 0 523 0 524 0 525 0 526 0 527 0 528 0 529 0 530 0 531 0 532 0 533 0 534 0 535 0 536 0 537 0 538 0 539 0 540 0 541 0 542 0 543 0 544 0 545 0 546 0 547 0 548 0 549 0 550 0 551 0 552 0 553 0 554 0 555 0 556 0 557 0 558 0 559 0 560 0 561 0 562 0 563 0 564 0 565 0 566 0 567 0 568 0 569 0 570 0 571 0 572 0 573 0 574 0 575 0 576 0 577 0 578 0 579 0 580 0 581 0 582 0 583 0 584 0 585 0 586 0 587 0 588 0 589 0 590 0 591 0 592 0 593 0 594 0 595 0 596 0 597 0 598 0 599 0 600 0 601 0 602 0 603 0 604 0 605 0 606 0 607 0 608 0 609 0 610 0 611 0 612 0 613 0 614 0 615 0 616 0 617 0 618 0 619 0 620 0 621 0 622 0 623 0 624 0 625 0 626 0 627 0 628 0 629 0 630 0 631 0 632 0 633 0 634 0 635 0 636 0 637 0 638 0 639 0 640 0 641 0 642 0 643 0 644 0 645 0 646 0 647 0 648 0 649 0 650 0 651 0 652 0 653 0 654 0 655 0 656 0 657 0 658 0 659 0 660 0 661 0 662 0 663 0 664 0 665 0 666 0 667 0 668 0 669 0 670 0 671 0 672 0 673 0 674 0 675 0 676 0 677 0 678 0 679 0 680 0 681 0 682 0 683 0 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999 827 999 828 999 829 999 830 999 831 999 832 999 833 999 834 999 835 999 836 999 837 999 838 999 839 999 840 999 841 999 842 999 843 999 844 999 845 999 846 999 847 999 848 999 849 999 850 999 851 999 852 999 853 999 854 999 855 999 856 999 857 999 858 999 859 999 860 999 861 999 862 999 863 999 864 999 865 999 866 999 867 999 868 999 869 999 870 999 871 999 872 999 873 999 874 999 875 999 876 999 877 999 878 999 879 999 880 999 881 999 882 999 883 999 884 999 885 999 886 999 887 999 888 999 889 999 890 999 891 999 892 999 893 999 894 999 895 999 896 999 897 999 898 999 899 999 900 999 901 999 902 999 903 999 904 999 905 999 906 999 907 999 908 999 909 999 910 999 911 999 912 999 913 999 914 999 915 999 916 999 917 999 918 999 919 999 920 999 921 999 922 999 923 999 924 999 925 999 926 999 927 999 928 999 929 999 930 999 931 999 932 999 933 999 934 999 935 999 936 999 937 999 938 999 939 999 940 999 941 999 942 999 943 999 944 999 945 999 946 999 947 999 948 999 949 999 950 999 951 999 952 999 953 999 954 999 955 999 956 999 957 999 958 999 959 999 960 999 961 999 962 999 963 999 964 999 965 999 966 999 967 999 968 999 969 999 970 999 971 999 972 999 973 999 974 999 975 999 976 999 977 999 978 999 979 999 980 999 981 999 982 999 983 999 984 999 985 999 986 999 987 999 988 999 989 999 990 999 991 999 992 999 993 999 994 999 995 999 996 999 997 999 998 999 999
Logarithmic Time O(logn)
An example of a log time algorithm is binary search. Binary search is an algorithm that searches for a specific element in a sorted list by repeatedly dividing the search interval in half. As a result, the time taken to complete the search grows logarithmically with the size of the list. Hence, the time complexity of this operation is O(log n), where n is the size of the list being searched.
def binary_search(arr, low, high, target):
while low <= high:
mid = (low + high) // 2
if arr[mid] == target:
return mid
elif arr[mid] < target:
low = mid + 1
else:
high = mid - 1
target = 263
result = binary_search(numbers, 0, len(numbers) - 1, target)
print(result)
263
Exponential Time O(2^n)
An example of an O(2^n) algorithm is the recursive implementation of the Fibonacci sequence. The Fibonacci sequence is a series of numbers where each number is the sum of the two preceding ones, starting from 0 and 1. The recursive implementation of the Fibonacci sequence calculates each number by recursively calling itself with the two preceding numbers until it reaches the base case (i.e., the first or second number in the sequence). The algorithm takes O(2^n) time in the worst case because it has to calculate each number in the sequence by making two recursive calls.
def fibonacci(n):
if n <= 1:
return n
else:
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
print(fibonacci(3))
2
Using the time library, we are able to see the difference in time it takes to calculate the fibonacci function above.
- Based on what is known about the other time complexities, hypothesize the resulting elapsed time if the function is replaced.
import time
start_time = time.time()
print(fibonacci(34))
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken:", total_time, "seconds")
start_time = time.time()
print(fibonacci(35))
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken:", total_time, "seconds")
5702887 Time taken: 3.2386279106140137 seconds 9227465 Time taken: 4.9960856437683105 seconds
Hacks
- Record your findings when testing the time elapsed of the different algorithms.
- Although we will go more in depth later, time complexity is a key concept that relates to the different sorting algorithms. Do some basic research on the different types of sorting algorithms and their time complexity.
- Why is time and space complexity important when choosing an algorithm?
-
Should you always use a constant time algorithm / Should you never use an exponential time algorithm? Explain?